Funções e Fórmulas Trigonométricas: Saiba como calcular

Funções e Fórmulas trigonométricas: A trigonometria foca no estudo de funções que envolvam os lados de um triângulo retângulo e a partir disso temos as funções e fórmulas trigonométricas. Por meio do triângulo é possível encontrar as razões trigonométricas das funções seno, cosseno e tangente, que são as principais funções trigonométricas. Confira a seguir como funcionam as funções trigonométricas e as diferentes fórmulas por trás dessas funções.

Funções e fórmulas trigonométricas e o triângulo retângulo

As funções trigonométricas principais são o seno, cosseno e a tangente, e elas são as relações entre os lados de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo é aquele que apresenta 3 lados e dois deles são retos, formando 90° entre eles.

Cada lado apresenta um nome, os lados que são perpendiculares são chamados de cateto adjacente (base) e cateto oposto (altura). O outro lado é chamado de hipotenusa, que forma um ângulo teta com o cateto adjacente. Por definição temos que o cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo de referência. O cateto adjacente é o lado adjacente ao ângulo de referência e a hipotenusa é oposto ao ângulo reto, sendo também o maior lado do triângulo.

Funções e Fórmulas Trigonométricas

Agora que conhecemos os lados de um triângulo podemos definir as funções trigonométricas:

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função seno

O seno é dado pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

função e fórmula trigonométrica seno

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função cosseno

O cosseno já será dado pelo contrário, ou seja, pela divisão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função cosseno

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função tangente

Por fim, a tangente é dada pela razão entre o seno e o cosseno, ou entre os catetos:

Função Trigonométrica: tangente

Com as funções principais definidas é possível encontrar as outras funções: cotangente, cossecante e secante.

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função cossecante

A função cossecante é o inverso seno, então temos a hipotenusa sobre o cateto oposto:

Funções e Fórmulas Trigonométricas: cossecante

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função secante

A função secante é o oposto do cosseno, ou seja, a divisão entre hipotenusa e cateto adjacente:

Funções Trigonométricas: Função

Funções e Fórmulas Trigonométricas: Função cotangente

Seguindo a lógica, a função cotangente é o inverso da tangente, portanto:

Fórmulas Trigonométricas: cotangente

Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

Esse teorema é um dos principais para definir as relações de um triângulo retângulo. Com esse teorema foi encontrado que a hipotenusa, que é o maior lado do triângulo retângulo, é igual à soma dos quadrados dos valores de cada cateto. Ou seja,

hipotenusa = (cateto oposto)² + (cateto adjacente)²

Assim, pode-se facilmente descobrir o tamanho de um lado se você tiver os valores dos outros dois, bem como descobrir a hipotenusa se você souber os valores dos catetos.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é utilizado para facilitar a visualização dessas funções e permite ver a disposição delas no plano cartesiano. O que permite encontrar seus domínios, imagens, sinais e o desenho do gráfico. Para isso, basta desenharmos um círculo o dividirmos em 4 partes iguais, que são chamadas de quadrantes e desenhar no primeiro quadrante um triângulo retângulo.

A reta vertical é chamada de eixo dos senos e a reta horizontal chamada de eixos dos cossenos. O primeiro quadrante é composto por ângulos entre 0° e 90°, o segundo quadrante O valor máximo no círculo trigonométrico é 1, correspondente ao ângulo 0° e 360°, e o mínimo -1, correspondente a 180°.

Função seno

Dentro do círculo podemos ver que a função seno sempre terá seus valores entre –1 e 1, o que define seu domínio como todos os valores reais. Já a sua imagem, que diz respeito aos resultados que uma função pode ter será limitado pelo círculo trigonométrico, de forma que sua imagem será dada pelo intervalo [-1,1].  O sinal será positivo para ângulos no primeiro quadrante e no segundo quadrante.

Função cosseno

A função cosseno também apresenta os mesmo domínios e imagens que a função seno, ou seja, domínio nos números reais e imagem entre –1 e 1. Sua função irá apresentar valores positivos para o primeiro e quarto quadrante e valores negativos para o segundo e terceiro quadrante.

Função tangente

Como a função tangente é dada pela razão entre as funções seno e cosseno, seu domínio e sua imagem não serão limitados pelo círculo trigonométrico. Ou seja, seu domínio será todos os valores reais e sua imagem também. Contudo, como é dada por uma divisão e o denominador é o cosseno, sempre que a função do cosseno retornar zero não existirá uma função tangente. Pois nenhum valor é divisível por zero. Seu sinal ainda será negativo para quadrantes pares, ou seja, para o segundo e para o quarto quadrante. E terá sinal positivo para ângulos pertencentes ao primeiro e terceiro quadrante.

Tabela trigonométrica

Utilizar as razões trigonométricas pode ser apropriado para descobrir o valor do lado de triângulos retângulos ou descobrir quais seus ângulos internos. Por isso, conhecer a tabela trigonométrica pode auxiliar nas contas:

Razão Trigonométricas 30° 45° 60°
Seno (sen) 1/2 √2/2 √3/2
Cosseno (cos) √3/2 √2/2 1/2
Tangente (tan) √3/3 1 √3

Conclusão

As funções trigonométricas estão ligadas com o triângulo retângulo, e por meio dele é possível encontrar as fórmulas para as diferentes funções que compõem o círculo trigonométrico. Por meio dos lados que formam o triângulo retângulo podemos definir as fórmulas tanto para as funções principais, seno, cosseno e tangente, quanto para as secundárias, secante, cossecante e cotangente. Coloque seus conhecimentos em prática com exercícios de trigonometria e utiliza o círculo trigonométrico para facilitar suas resoluções.

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