Funções trigonométricas: saiba quais são e suas propriedades

Dentro da matemática um tópico recorrente são as funções trigonométricas, isso porque elas são muito utilizadas no cotidiano para realizar medidas, encontrar distâncias, e se estendem a diversas outras áreas, como eletricidade, mecânica, música, topologia, engenharias etc. As funções seno, cosseno e tangente são as principais funções trigonométricas e por meio delas é possível relacionar um valor de ângulo com um valor de razão trigonométrica. Confira a seguir um pouco mais sobre essas funções e suas propriedades.

Funções trigonométricas

Como já citado, as funções trigonométricas mais importantes são o seno, cosseno e tangente. Sendo que para cada ângulo dentro do ciclo trigonométrico existe um valor de seno e de cosseno único. Sendo que o valor do ângulo geralmente é dado em radianos ou graus, e os valores de seno e cosseno encontram-se entre –1 e 1 e são números reais.

Funções trigonométricas
Arte: Professor Edigley

Função seno

A função seno pode ser escrita como f(x) = sen(x) sendo que seu resultado sempre será um valor real entre –1 e 1. O domínio da função seno, ou seja, a condição de existência dela, é o conjunto de números reais. Portanto, a função f(x) = sen(x) pode ser utilizada para todos os números reais.

Já a imagem da função, que é um subconjunto do contradomínio ou, em outras palavras, os valores correspondentes ao domínio são iguais a 1 quando o seno apresenta seu valor máximo e –1 quando apresenta seu valor mínimo. Dessa forma, a imagem da função será composta por valores no intervalo de –1 e 1.

Seu gráfico será então limitado pelos valores –1 e 1 apresentando um comportamento senoidal periódico, com períodos crescentes e decrescentes se alternando, chamado também de senoide. O período da função seno é de 2π, assim a cada 2π a função se repete.

O sinal da função seno será positivo para valores no primeiro e segundo quadrante do círculo trigonométrico, que seria entre 0° e 180° ou entre 0 e π. Já para ângulos entre 180° e 360° ou π e 2π, o sinal será negativo.

Por fim, a função seno é considerada uma função ímpar por apresentar uma simetria em conjunto aos quadrantes ímpares. Dessa forma, a função seno apresenta a seguinte propriedade: f (-x) = – (x) .

Função cosseno

A função cosseno é escrita como f(x)= cos (x)e, da mesma forma que o seno, apresenta números reais entre –1 e 1. Assim, seu domínio é o mesmo que da função seno, considerando todos os números reais sem restrições para os ângulos correspondentes.

A imagem da função cosseno também será a mesma que do seno, com valores maiores ou iguais a –1 e menores ou iguais a 1.

O gráfico da função cosseno será limitado entre as retas no eixo y de 1 e –1 devido sua imagem estar entre esse intervalo. O gráfico também conta com partes crescentes e decrescentes periódicas repetindo seu comportamento a cada 2π. O nome do gráfico do cosseno é cossenoide.

Diferente da função seno, o cosseno apresenta valores positivos no primeiro e no quarto quadrante do círculo trigonométrico. Ou seja, seus valores positivos ocorrem entre 0° e 90° e entre 270° e 360°. O que é equivalente a 0 , em radianos. Portanto, o cosseno retorna valores negativos quando seus ângulos estão no segundo e terceiro quadrante, entre 90° e 270°.

Ainda a função cosseno apresenta uma paridade inversa ao da função seno, ou seja, ela é considerada uma função par. Isso porque apresenta a propriedade: f (-x) = f (x).

Função tangente

A função tangente é justamente a razão entre a função seno e cosseno. Matematicamente, temos que:

Assim, a função tangente não apresenta limitantes para valores mínimos ou máximos. Entretanto, não existem valores para tangente quando a função cosseno for igual a zero. Logo, ela não existe para o terceiro e quarto quadrante, ou seja, de 90° a 270°. No caso em que os ângulos são superiores a 360° ou 2π a função tangente não ocorre sempre que o cosseno for igual a zero.

A imagem da função tangente também não apresenta um intervalo, afinal todo o conjunto de números reais faz parte do seu domínio sem condições. E o seu gráfico apresenta um comportamento recorrente que se repete a cada 180° ou a cada π tempos.

O sinal da tangente terá um comportamento positivo para quadrantes ímpares, ou seja, entre 0 e 90° e entre 180° e 270°. E terá valores negativos para quadrantes pares, que seria entre 90° e 180° e entre 270° e 360°.

Por fim, a paridade da função tangente é de uma função ímpar, de forma que tan(-x) = tan(x) .  O que confere a função uma simetria de acordo com o plano cartesiano.

Conclusão: Funções trigonométricas

As funções trigonométricas apresentam propriedades distintas variando seu comportamento dentro do círculo trigonométrico. Sabendo as características da função seno é possível já conhecer as do cosseno, pois são inversas. E a tangente é a razão entre ambas as funções, sem limitantes e, portanto, precisando de um pouco mais de atenção. Aproveite agora para colocar seus conhecimentos à prova com exercícios sobre funções trigonométricas.

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