Análise combinatória: Arranjo e permutação simples
Análise combinatória: o que é, arranjo, combinação e permutação simples
Na análise combinatória há um conjunto de procedimentos que permitem que grupos diferentes sejam construídos a partir de uma quantidade finita de elementos. Nesses grupos é feita a análise tanto de combinações quanto de possibilidades dentro de um conjunto de elementos. É por essa razão que ela é muito utilizada para realiza estudos sobre lógica e probabilidade.
O que é análise combinatória
Na análise combinatória são realizados cálculos onde são formados grupos que possuem relação com a contagem. Assim é feita uma análise tanto das combinações quanto das possibilidades possíveis existentes num conjunto de elementos.
Por exemplo, imagine que uma mulher possui quatro vestidos, cinco shorts, dois casacos e dois pares de sapatos. Pensando que todas essas peças se combinam de quantas formas diferentes ela pode se vestir?
Nesse caso, como a ordem das peças não importa e teremos de fazer agrupamentos de todas essas peças é preciso utilizar os conceitos de combinação simples. Mas se a ordem importasse seria necessário fazer uso da permutação simples. A seguir vamos entender um pouco mais sobre cada uma delas.
Arranjo simples
Quando se trata de arranjos os agrupamentos são realizados, mas seguem para isso é preciso seguir a natureza e ordem dos elementos. Para isso utiliza-se a seguinte expressão:
A p,n = n!
(n-p)!
Vamos tomar como exemplo para esse caso as eleições. Vamos que supor que existem 20 vereadores que estão concorrendo a 2 vagas. Assim, de quantas formas diferentes essa escolha pode ser feita? Nesse caso, a ordem importa, pois o resultado final pode ser alterado por causa disso.
A = n!
(n-p)!
A = 20!
(20-2)!
A = 20! = 20x19x18! = 380
18! 18!
Ou seja, pode-se obter 380 formas diferentes de fazer esse arranjo.
Combinação simples
Dentro da análise combinatória há a combinação simples. Nesse caso, os elementos de determinado grupo são agrupados em subconjuntos sem que a ordem dos mesmos seja considerada na sua formação. Por exemplo, temos o subconjunto {B, A} e {A, B} que possuem elementos iguais e que devem ser considerados apenas uma vez quando for feita a contagem de quantas combinações é possível com os mesmos.
Para conseguir encontrar a quantidade de combinações simples possíveis em um conjunto é utilizada a seguinte fórmula:
C (n,p) = n!p! x (n-p)!
Onde n representa a quantidade de elementos existentes no conjunto e p a quantidade de elementos do subconjunto.
Por exemplo: Temos o conjunto J que é formado pelos seguintes elementos: A, B, C, D. Utilizando a combinação simples encontre a quantidade de subconjuntos com 2 elementos é possível obter.
Sabemos que o conjunto J é composto por 4 elementos e que a quantidade de elementos que irá compor os subconjuntos deve ser 2. Assim temos que n é igual a 4 e p é igual a 2.
Utilizando a fórmula da combinação simples temos:
C (n,p) = n!p! x (n-p)!
C (4,2) = 4!
2! x (4-2)!
C (4,2) = 24
2 x 2
C (4,2) = 24 = 6
4
Isso quer dizer que se pegarmos o conjunto J e formarmos subconjuntos com 2 elementos conseguiremos formar 6.
Permutação simples
As permutações tratam-se de agrupamentos ordenados onde o número de elementos é igual a quantidade de elementos disponíveis. Para isso utiliza-se a seguinte fórmula:
Pn = n!
Exemplo: Quantos anagramas é possível formar com a palavra ORDEM?
O anagrama se trata de uma frase ou palavra formada utilizando-se todas as letras existentes em outra frase ou palavra. Normalmente o resultado disso não possui significado.
Tomando a palavra ORDEM vemos que ela possui 5 letras diferentes. Então temos de calcular o número das permutações fazendo o cálculo P5. Assim temos que:
P5 = 5!
P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
Assim temos que o número de anagramas formados com as letras dessa palavra é igual a 120.
Exercícios de análise combinatória
- Um jogo de computador possui uma senha com quatro caracteres numéricos ou alfabéticos, mas o primeiro deles tem de ser alfabético. Assim, quantas senhas é possível obter?
a)364
b)26.36³
c)264
- Se uma placa de moto possui 1 vogais que podem se repetir e 3 algarismos diferentes qual a quantidade de motos que podem ser licenciadas?
- a) 25000
- b) 120000
- c) 18000
Resposta
1.B
2.C
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